Есть ли натуральные числа m, n, для которых

выполняется равенство m^2-n^2=2014?

Разложем как разность квадратов

(m-n) (m+n) = 2014

(m-n) (m+n) = 2*19*53

в левой стороне у нас два множителя, следовательно, число должно состоять из двух множителей, начинаем перебирать варианты

1) (m-n) (m+n) = 38*53

2) (m-n) (m+n) = 19*106

3) (m-n) (m+n) = 2*1007

далее каждый вариант должен делиться у нас на два возможных варианта (оговорку читай ниже) [точки ставил, чтоб система не смещалась влево, на них внимания не обращай]

1) a) [m-n=38. б) [m-n=53

... [m-n=53 ... [m+n=38

2) a) [m-n=19. б) [m-n=106.

... [m+n=106 ... [m+n=19

3) а) [m-n=2. б) [m-n=1007

... [m+n=1007. [m+n=2

так как у нас уравнение в натуральных числах (отрицательные значения переменных не рассматриваются) разность переменных не может быть больше их суммы, следовательно все варианты под буквой Б мы откидываем. у нас остаются только системы уравнений 1) а), 2) а), 3) а).

решив данные три системы уравнений, мы получаем значения переменных, есл хотя бы в одной системе уравнений мы получаем натуральные значения каждой переменной, то данное уравнение имеет решение в натуральных числах.

системы реши сам, писать решение их сильно муторно и долго

если не сложно, за проделанные усилия дай лучший ответ