Многочлены и одночлены что это такое и как это решать

3 а (2,5 а3), (5ab2) • (0,4c3d) • 3/4 - это одночлены, выражение a + b одночленом не является, т. к. содержит в себе операцию сложения. Каждый одночлен можно привести к стандартному виду, т. е. представить его в виде произведения числового множителя, стоящего на 1 м месте, и степеней различных переменных. Стандартный вид одночлена: числовой множитель + переменная (например, 5 а), где числовой множитель называется коэффициентом одночлена, т. е. в одночлене 5 а 5 является коэффициентом одночлена. Степенью одночлена называется сумма показателей степеней всех переменных. Произведением исходных одночленов называются все одночлены, записанные со знаком умножения между ними: 3 а • (2,5 а3). Закрепим материал. Пример. Привести к стандартному виду одночлен 3 а (2,5 а3). Решение. 1. Стандартный вид одночлена подразумевает наличие коэффициента и переменной, т. е. наш многочлен должен принять вид Ха, где Х - коэффициент, а а - переменная. 2. Сгруппируем элементы так, чтобы отдельно оказались числа, отдельно - переменные (для этого нам нужно воспользоваться законами умножения) : 3 а (2,5 а3) = (3 • 2,5) • (а • а3) = 7,5 • а4 = 7,5 а4, т. е. мы привели одночлен 3 а (2,5 а3) к его стандартному виду 7,5 а4. Ответ. 7,5 а4. Одночлены, которые мы получили, т. е. одночлены стандартного вида, называются подобными, а сложение и вычитание таких одночленов называется приведением подобных. Многочлен представляет собой сумму одночленов. Стандартным видом многочлена является многочлен, полученный в результате приведения всех одночленов к стандартной форме и приведения подобных. Пример. Приведем к стандартному виду многочлен (3a + 5b - 2c) + (2a - b + 4c). Решение. 1. Раскроем скобки. Перед обоими скобками стоит знак "+", поэтому знаки не меняются. Выражение примет вид: 3a + 5b - 2c + 2a - b + 4c. 2. Приведем подобные: 3a + 2a + 5b - b - 2c + 4c = 5a + 4b + 2c. Ответ: 5a + 4b + 2c. Иногда для приведения многочлена к стандартному виду мы можем воспользоваться формулами сокращенного умножения, основанными на тождестве. Эти формулы необходимо запомнить, чтобы впоследствии ими можно было оперативно пользоваться. 1. (а + b) (а - b) = а2 - b2.2. (а + b) 2 = а2 + 2 аb + b2.3. (а - b) 2 = а2 - 2 аb + b2.4. (а + b) (а2 - аb + b2) = а3 + b3.5. (а - b) (а2 + аb + b2) = а3 - b3.6. (а + b) 3 = а3 + 3 а2b + 3 аb2 + b3.7. (а - b) 3 = а3 - 3 а2b + 3 аb2 - b3. Рассмотрим несколько примеров на использование формул сокращенного умножения. Пример 1. (3 х2 + 4y3) (3 х2 - 4y3). Решение. Воспользуемся формулой сокращенного умножения № 1. Получится, что перед нами "развернутая" разность квадратов, которую нужно "свернуть" в формулу: (3 х2 + 4y3) (3 х2 - 4y3) = (3 х2) 2 - (4y3) 2 = 9 х4 - 16y6. Т. о., (3 х2 + 4y3) (3 х2 - 4y3) = 9 х4 - 16y6. Пример 2. (a + b - c) (a + b + c). Решение. 1. Сгруппируем компоненты в скобках так, чтобы получить разность квадратов:

(a + b - c) (a + b + c) = ((a + b) - c) ((a + b) + c).

2. "Свернем" формулу разности квадратов и получим:

((a + b) - c) ((a + b) + c) = (a + b) 2 - с2.3. Раскроем скобки:

(a + b) 2 - с2 = а2 + 2 аb + b2 - с2. Т. о., (a + b - c) (a + b + c) = а2 + 2 аb + b2 - с2. Пример 3. (3 а + 1) (9 а2 - 3 а + 1). Решение. Воспользуемся формулой №4 - формулой суммы кубов и "свернем" наше выражение:

(3 а + 1) (9 а2 - 3 а + 1) = (3 а) 3 + 1 = 27 а3 + 1. Т. о., (3 а + 1) (9 а2 - 3 а + 1) = 27 а3 + 1.

[ссылка появится после проверки модератором]