Докажите, что при любых целых значениях переменных значение число

5x^2+12xy+9y^2+6x+34 можно представить в виде суммы квадратов трех

натуральных чисел.

5x² + 12xy + 9y² + 6x + 34

9y² + 12xy практически создают квадрат суммы, дополним это выражение:

9y² + 12xy + 4x² = (3y + 2x) ², заметим, что это выражение есть целое число в квадрате.

5x² + 12xy + 9y² + 6x + 34 = x² + (4x² + 12xy + 9y²) + 6x + 34 = (3y + 2x) ² + x² + 6x + 34

x² + 6x также дополняем до полного квадрата:

x² + 6x + 9 = (x + 3) ²

(3y + 2x) ² + x² + 6x + 34 = (3y + 2x) ² + x² + 6x + 9 + 25 = (3y + 2x) ² + (x + 3) ² + 25

25 = 5² (целое число в квадрате)

(3y + 2x) ² + (x + 3) ² + 25 = (3y + 2x) ² + (x + 3) ² + 5²

Итак, получившееся выражение однозначно при любых целых x и y можно представить в виде суммы квадратов трёх натуральных чисел.