Составить уравнение касательных к окружности, перпендикулярных прямой.

Переписываем уравнение прямой в виде y=-3*x+4. Отсюда следует, что угловой коэффициент этой прямой k1=-3. Так как касательные к окружности перпендикулярны к данной прямой, то их угловой коэффициент k2=-1/k1=1/3. Будем искать уравнения касательных в виде y-y1=k2 * (x-x1) и y2=k2 * (x-x2), где x1, x2 и y1, y2 - абсциссы и ординаты точек касания. Запишем уравнение окружности в виде F (x, y) = (x-1) ² + (y+3) ²-40=0. Эта функция является неявной по отношению к x. Дифференцируя её по x и учитывая при этом, что y также является функцией от x, находим dF/dx=2 * (x-1) + 2 * (y+3) * y'=0. Отсюда производная y' (x) = (1-x) / (y+3). Но y' (x1) = (1-x1) / (y1+3), а y' (x2) = (1-x2) = (y2+3). А так как y' (x1) = y' (x2) = k2=1/3, то отсюда следует система уравнений:

(1-x1) / (y1+3) = 1/3

(1-x2)) / (y2+3) = 1/3

Но так как при этом точки касания принадлежат окружности, то их координаты должны удовлетворять и её уравнению. Поэтому к написанной выше системе добавляются ещё два уравнения:

(x1-1) ² + (y1+3) ²=40

(x2-1) ² + (y2+3) ²=40

Решая теперь получившуюся систему из 4-х уравнений, находим x1=-1⇒y1=3 либо x1=3⇒y1=-9. А так как для x2 и y2 уравнения точно такие, как для x1 и y1, то и решения получаются одинаковыми: x2=x1, y2=y1. Так и должно быть, потому что окружность имеет лишь две касательных, перпендикулярных данной прямой - соответственно и точек касания будет лишь две. Составляем теперь уравнения касательных: y-3=1/3 * (x+1) и y+9=1/3 * (x-3). Эти уравнения приводятся к виду x-3*y+10=0 и x-3*y-30=0. Ответ: x-3*y+10=0, x-3*y-30=0.