Докажите теорему синусов

Пусть в треугольнике ABC AB=c, BC=a, CA=b.

Докажем, что a/sinA=b/sinB=c/sinC

По теореме о площади треугольника

S=1/2ab*sinC, S=1/2bc*sinA, S=1/2ca*sinB

Из первых двух равенств получаем: 1/2ab*sinC=1/2bc*sinA, откуда a/sinA=c/sinC. Точно так же из второго и третьего равенств следует, a/sinA=b/sinB.

Итак, a/sinA=b/sinB=c/sinC. Теорема доказана

Доказательство теоремы синусов.

Пусть есть треугольник, вписанный в окружность. Обозначим его как ABC.

Что бы доказать всю теорему, так как треугольник имеет произвольные размеры, можно доказать только то, что соотношение 1-ной произвольной стороны к противолежащему углу соответствует 2R. Допустим, это будет 2R = a/sin, т. е. если смотреть по чертежу 2R = BC / sin A.

Проведем диаметр |BG| для описанной окружности. Из свойства углов, которые вписаны в окружность, угол GCB будет прямым, а угол CGB равен либо, когда точки A и G находятся по одну сторону от прямой BC, или - в противоположном варианте. Так как sin (-) = sin, в обоих случаях получаем:

a=2R sin

Повторяем это же рассуждение для оставшихся сторон треугольника:

Теорема синусов доказана.