В прямоугольном треугольнике гипотенуза на 3 см больше одного катета и на 6 см больше другого. Найдите площадь треугольника.

Х-гипотенуза

х-3-1 катет

х-6-2 катет

(х-3) ² + (х-6) ²=х²

х²-6 х+9+х²-12 х+36=х²

х²-18 х+45=0

х1+х2=18 и х1*х2=45

х1=3 не удов ус, т. к. катеты не могут быть отрицательными

х2=15 см гипотенуза

15-3=12 см 1 катет

15-6=9 см 2 катет

Площадь равна половине произведения катетов, значит 1/2*12*9=54 см²

Пусть гипотенуза равна х, тогда первый катетера равен х-3, а другой х-6. По теореме Пифагора:

х² = (х-3) ² + (х-6) ²

х² = х² - 6 х + 9 + х² - 12 х + 36

х² - 18 х + 45 = 0

D = 324 - 4 * 1 * 45 = 324 - 180 = 144 = 12²

x1 = (18 + 12) / 2 = 30/2 = 15

x2 = (18 - 12) / 2 = 6/2 = 3

x2 = 3 - не подходит, т. к. число слишком маленькое.

Значит, гипотенуза равна 15 см.

Следовательно, первый катет равен 12 см, а второй 9 см.

В прямоугольном треугольнике площадь считается по формуле:

S = ab/2 = (12 * 9) / 2 = 108/2 = 54 см²

Ответ: 54 см²