Найти значения параметра a, при которых функция y = (a-12) x³+3 (a-12) x²+6x+7 монотонно возрастает на всей числовой оси.

Вроде как никакая функция с квадратом (с любой натуральной четной степенью) не может гарантированно монотонно возрастать. Значит, 3 (a-12) = 0. Решение очевидно: a=12. Теперь проверяем, то ли получилось: получилась линейная возрастающая функция, ура.

A-12=t.

Тогда f (x) = tx³+3tx²+6x+7

Возьмем производную:

f' (x) = 3tx²+6tx+6

Достаточное условие возрастания на интервале: производная всюду на интервале положительна, хотя в некоторых точках может быть и равна нулю.

В данном случае это означает то, что неравенство 3tx²+6tx+6≥0 должно быть верным при любом x.

Пусть t=0 (a=12), тогда равна 6 и всегда положительна. а=12 нам подходит.

Теперь нужно рассмотреть два случая. Если t>0, то ветви параболы направлены вверх и неравенство будет верно для любого x при D≤0.

D=36t (t-2)

D≤0 при 0
Если же t<0, то ветви параболы направлены вниз и этот случай нам не подходит.

Значит 0≤t≤2

0≤a-12≤2

12≤a≤14 - ответ.