Найти сумму значений (или значение, если оно единственно), при которых треугольник с вершинами А (-1; 2), В (-2; 3) и С (х; -2) является равнобедренным.

У равнобедренного треугольника две равные стороны, значит возможны три случая: АВ=ВС, АВ=АС и АС=ВС.

1) АВ=ВС:

Вектор АВ = (-2+1; 3-2) = (-1; 1) ;

Вектор ВС = (х+2; - 2-3) = (х+2; - 5) ;

Находим длины данных векторов:

|AB|=√ ((-1) ²+1²) = √ (1+1) = √2;

|BC|=√ ((x+2) ² + (-5) ²) = √ ((x+2) ²+25).

|AB|=|BC|:

(x+2) ²+25=2;

(x+2) ²=-23;

∅

2) АВ=АС:

Вектор АВ = (-2+1; 3-2) = (-1; 1) ;

Вектор AС = (х+1; - 2-2) = (х+1; - 4) ;

Находим длины данных векторов:

|AB|=√ ((-1) ²+1²) = √ (1+1) = √2;

|AC|=√ ((x+1) ² + (-4) ²) = √ ((x+1) ²+16).

|AB|=|AC|:

(x+1) ²+16=2;

(x+2) ²=-14;

∅

3) АС=ВС:

Вектор AС = (х+1; - 2-2) = (х+1; - 4) ;

Вектор ВС = (х+2; - 2-3) = (х+2; - 5) ;

Находим длины данных векторов:

|AC|=√ ((x+1) ² + (-4) ²) = √ ((x+1) ²+16) ;

|BC|=√ ((x+2) ² + (-5) ²) = √ ((x+2) ²+25).

|AC|=|BC|:

(x+1) ²+16 = (x+2) ²+25;

x²+2x+17=x²+4x+29;

-2x=12;

x=-6.

Таким образом, значение х=-6 - единственное.