1) Найдите такое число ab и такой натуральный k, чтобы aab+ab=k²

2) Найдите такое натуральное число abcde, для которого 83*abcde=3abcde8

1) aab + ab = k²

Позиционная десятичная система. Число aab < 1000, даже если к нему прибавить число ab < 100, то aab + ab < 1100. Значит, можно попробовать метод подбора, проверить все квадраты меньше 1100.

Распишем исходное уравнение:

100a + 10a + b + 10a + b = 120a + 2b = 2 * (60a + b)

Отсюда следует, что проверить надо лишь чётные квадраты. Выпишем их: 100, 144, 196, 256, 324, 400, 484, 576, 676, 784, 900 и 1024.

При подборе учтём, что ab + ab < 100, иначе будет перенос в следующий разряд, и число сотен (равное а) увеличится на 1.

Проверка показывает, что подходят два числа: 256 и 484.

В первом случае aab = 228 и ab = 28; aab + ab = 228 + 28 = 256 = 16²

Во втором - aab = 442 и ab = 42; aab + ab = 442 + 42 = 484 = 22²

Ответ: ab = 28 и ab = 42

2) 83 * abcde = 3abcde8

Перепишем согласно позиционной десятичной системе:

83 * (a*10^4 + b*10^3 + c*10^2 + d*10 + e) =

= 3*10^6 + a*10^5 + b*10^4 + c*10^3 + d*10^2 + e*10 + 8

Раскроем скобки:

830000a + 83000b + 8300c + 830d + 83e =

= 3000000 + 100000a + 10000b + 1000c + 100d + 10e + 8

Приведём подобные:

730000a + 73000b + 7300c + 730d + 73e = 3000008

Сократим обе части на 73:

10000a + 1000b + 100c + 10d + e = 41096

Следовательно, abcde = 41096

Проверяем: 83*41096 = 3410968

1)

100 а+10a+b+10a+b=k*k

120a+2b=k*k

Очевидно, k - четное и все делится на 4. Значит b четное. Пусть оно 2 х, а к=2 у. х меньше 5.

30 а+х=у*у

а=1 х=6 не подходит

а=2 х=4 подходит

а=4 х=1

Дальше таких чисел нет.

Ответ: 28 или 42

Действительно: 228+28=16*16 и 442+42=22*22

2)

83*х=300000+х*10+8

73 х=3000008

х=3000008:73

х=41096

Ответ: 41096