Найдите наименьшее значение выражения (5x-4y+3) ^2 + (3x-y-1) ^2

И значения x и y, при которых оно достигается.

Берем частные поризводные и приравниваем к 0

z (x, y) = (5x - 4y + 3) ^2 + (3x - y - 1) ^2

dz/dx = 2 (5x - 4y + 3) * 5 + 2 (3x - y - 1) * 3 = 10 (5x - 4y + 3) + 6 (3x - y - 1) = 0

dz/dy = 2 (5x - 4y + 3) * (-4) + 2 (3x - y - 1) * (-1) = - 8 (5x - 4y + 3) - 2 (3x - y - 1) = 0

Решаем систему

{ 50x - 40y + 30 + 18x - 6y - 6 = 0

{ - 40x + 32y - 24 - 6x + 2y + 2 = 0

Приводим подобные и сокращаем на 2

{ 34x - 23y + 12 = 0

{ - 23x + 17y - 11 = 0

Умножаем 1 ур на 17, а 2 на 23

{ 578x - 23*17y + 204 = 0

{ - 529x + 23*17y - 253 = 0

Складываем уравнения

49x - 49 = 0, x = 1

23y = 34 + 12 = 46, y = 2

Точка минимума: x = 1, y = 2

z (1, 2) = (5 - 8 + 3) ^2 + (3 - 2 - 1) ^2 = 0 + 0 = 0