Сколько существует таких пар целых чисел (x, y), что 1≤x≤500, 1≤y≤500, x^2+y^2⋮7?

Посмотрим, сколько чисел (от 1 до 500) делятся на 7 с остатками 0 ... 6:

0 - 71

1 - 72

2 - 72

3 - 72

4 - 71

5 - 71

6 - 71

Посмотрим, во что превращаются эти остатки при возведении в квадрат:

0→0

1→1

2→4

3→2

4→2

5→4

6→1

Теперь найдём пары квадратов остатков, которые в сумме делятся на 7 (выбирая из 0, 1, 2, 4) - это только пары 0, 0. Таких чисел (дающих в квадрате 0 по модулю 7) всего 71. Значит, всего пар чисел 71 * 71 = 5041

Ответ: 5041