Tgx+tg2x+tg3x=0

Прошу подробное решение

Формула тангенса суммы:

tg (x + y) = (tg x + tg y) / (1 - tg x tg y)

Отсюда tg x + tg y = tg (x + y) * (1 - tg x tg y)

Если положить x = y, получится формула тангенса двойного угла

tg 2x = 2 tg x / (1 - 2 tg^2 x)

Преобразуем выражение в левой части:

tg x + tg 2x + tg 3x = tg 3x * (1 - tg x tg 2x) + tg 3x = tg 3x (2 - tg x tg 2x) = tg 3x * (2 - tg x * 2 tg x / (1 - tg^2 x)) = 2 tg 3x * (1 - 2 tg^2 x) / (1 - tg^2 x)

2 tg 3x * (1 - 2 tg^2 x) / (1 - tg^2 x) = 0

tg 3x = 0 или 1 - 2 tg^2 x = 0

3x = πk, k ∈ Z или x = πn + - arctg 1/√2, n ∈ Z

x = πk/3, k ∈ Z или x = πn + - arctg 1/√2, n ∈ Z

При таких x все тангенсы существуют, посторонних корней не появилось.

Ответ. x = πk/3, k ∈ Z или x = πn + - arctg 1/√2, n ∈ Z

Tgx + tg2x + tg3x = 0

Sin3x / (CosxCos2x) + tg3x=0

Sin3x / (CosxCos2x) + Sin3x/Cos3x = 0

Sin3x (1 / (CosxCos2x) + 1/Cos3x) = 0

a) Sin3x = 0

3x = nπ, n ∈ Z

x = nπ/3, n∈Z

б) 1 / (CosxCos2x) + 1/Cos3x=0

(Cos3x + CosxCos2x) / (CosxCos2xCos3x) = 0

составим систему:

Cos3x + CosxCos2x = 0,⇒ 4Cos³x - 3Cosx + CosxCos2x = 0,

CosxCos2xCos3x ≠ 0, ⇒ Cosx≠0, Cos2x≠ 0, Cos3x ≠ 0

Теперь будем решать:

4Cos³x - 3Cosx + CosxCos2x = 0

Cosx (4Cos²x - 3 + Cos2x) = 0

Cosx = 0 или 4Cos²x - 3 + Cos2x = 0

∅ 4 Сos²x - 3 + 2Cos²x - 1 = 0,

6Cos²x = 4

Cos²x = 2/3

Cosx = + - √6/3

1) Cosx = √6/3

x = + - arcCos√6/3 + 2πk, k ∈Z

2) Сosx = - √6/3

x = + - arcCos (-√6/3) + 2πm, m ∈Z