При каких значениях параметра a уравнение x^3-3x^2+6=a имеет два корня?

Кубическое уравнение может иметь от 1 до 3 корней (в действительных числах). В общем случае график функции у=x^3+a*x^2+b*x+c имеет вид, похожий на знак "извилистая дорога", т. е. при увеличении х, значение функции сначала увеличивается, достигает максимума, затем уменьшается, достигает минимума, затем вновь возрастает до бесконечности. В зависимости от параметров а, b, и с график функции пересекает ось Х либо 1 раз, либо три раза, т. е. уравнение имеет либо 1 либо 3 корня. Но при некоторых значениях параметров а, b, и с график функции касается оси Х либо в точке максимума, либо в точке минимума, в этом случае два корня совпадают, и формально получается, что уравнение имеет 2 корня. Значит нужно найти эти максимум и минимум. Представим уравнение в виде функции: у=x^3-3x^2+6-а. Найдем производную и приравняем ее нулю.

y'=3*x^2-6*x. 3*x^2-6*x=0, 3*х * (х-2) = 0. Получаем х (1) = 0 и х (2) = 2. Значит при х=0 функция имеет максимум, а при х=2 - минимум. Нам нужно найти значения "а", при которых у (макс) = 0 и у (мин) = 0.

у (макс) = 0^3-3*0^2+6-a = 6-a, 6-a=0, a=6.

у (мин) = 2^3-3*2^2+6-a=8-12+6-a=2-a, 2-а=0, а=2. Таким образом, при а=2 и а=6 уравнение x^3-3x^2+6=a имеет 2 корня. По условию, находить сами корни - не требуется. Но найти их все же можно.

При а=6 получаем: x^3-3x^2+6=6, x^3-3x^2=0, x^2 * (х-3) = 0, х (1) = 0, х (2) = 3.

При а=2 получаем: x^3-3x^2+6=2, x^3-3x^2+4=0, x^3-2*x^2-*x^2+4=0, x^2 * (x-2) - (x^2-4) = 0, x^2 * (x-2) - (x-2) * (x+2) = 0,

(x-2) * (x^2-x-2) = 0, либо х-2=0, откуда х=2, либо x^2-x-2=0, откуда х=2 или х=-1, итого два корня х=2 и х=-1.