Доказать что уравнение

1/x² + 1/xy + 1/y² = 1

имеет решение в целых положительных числах.

Ну-ну. Оно НЕ имеет решений в натуральных числах.

Домножим обе части равенства на x^2*y^2. Получим

y^2+xy+y^2=x^2y^2

(x+y) ^2=xy (xy+1)

Если x, y - натуральные, то нужно, чтобы xy (xy+1) было точным квадратом. Но НОД (xy, xy+1) = 1, поэтому нужно, чтобы и xy, и xy+1 были точными квадратами. А такого в натуральных числах не бывает.

P. S. А в целых бывает. Единственное (с точностью до перестановки x и у) решение уравнения в целых числах - (-1, 1).