Основное свойство первообразной

Основное свойство первообразной.

Задача интегрирования состоит в том, чтобы для заданной функции найти все ее первообразные. При решении этой задачи важную роль играет следующее утверждение:

Признак постоянства функции. Если F' (х) = 0 на некотором промежутке I, то функция F - постоянная на этом промежутке.

Доказательство. Зафиксируем некоторое x0 из промежутка I. Тогда для любого числа х из такого промежутка в силу формулы Лагранжа можно указать такое число c, заключенное между х и x0, что

F (x) - F (x0) = F' (c) (x-x0).

По условию F’ (с) = 0, так как с∈1, следовательно,

F (x) - F (x0) = 0.

Итак, для всех х из промежутка I

F (x) = F (x0),

т е. функция F сохраняет постоянное значение.

Все первообразные функции f можно записать с помощью одной формулы, которую называют общим видом первообразных для функции f. Справедлива следующая теорема (основное свойство первообразных) :

Теорема. Любая первообразная для функции f на промежутке I может быть записана в виде

F (x) + C, (1)

где F (х) - одна из первообразных для функции f (x) на промежутке I, а С - произвольная постоянная.

Поясним это утверждение, в котором кратко сформулированы два свойства первообразной:

1) какое бы число ни поставить в выражение (1) вместо С, получим первообразную для f на промежутке I;

2) какую бы первообразную Ф для f на промежутке I ни взять, можно подобрать такое число С, что для всех х из промежутка I будет выполнено равенство

Ф (x) = F (x) + C.

Доказательство.

1) По условию функция F - первообразная для f на промежутке I. Следовательно, F' (х) = f (х) для любого х∈1, поэтому

(F (x) + C) ' = F' (x) + C'=f (x) + 0=f (x),

т. е. F (x) + C - первообразная для функции f.

2) Пусть Ф (х) - одна из первообразных для функции f на том же промежутке I, т. е. Ф' (x) = f (х) для всех x∈I.

Тогда

(Ф (x) - F (x)) ' = Ф' (х) - F’ (х) = f (x) - f (x) = 0.

Отсюда следует в. силу признака постоянства функции, что разность Ф (X) - F (х) есть функция, принимающая некоторое постоянное значение С на промежутке I.

Таким образом, для всех х из промежутка I справедливо равенство Ф (X) - F (x) = С, что и требовалось доказать. Основному свойству первообразной можно придать геометрический смысл: графики любых двух первообразных для функции f получаются друг из друга параллельным переносом вдоль оси Оу (рис.).