Найдите овласт значений

2cosквадрат а минус синус а

Найдите область значений2cos²а - sin (a) = 2 (1-sin² (a)) - sin (a) = - 2sin² (a) - sin (a) + 2

Пусть t = sin (a), 1≤t≤1. Рассмотрим y = - 2t² - t+2.

Если НЕ знаем производные, ТО найдем вершину параболы

y = - 2t² - t+2.

ДЛЯ y=at²+bt+c координаты вершины: t0 = - b / (2a) y0=a (t0) ²+bt+c.

ДЛЯ

y = - 2t²-t+2

координаты вершины: t0=1 / (2 (-2)) = - 1/4 ∈[-1; 1],

y0=-2 (-1/4) ² - (-1/4) + 2=2+1/8=2,125.

Ветви параболы направлены вниз,

у (t0) = 2,125 - наибольшее значение.

Найдем y (-1) = - 2 (-1) ² - (-1) + 2=-2+1+2=1 и y (1) = - 2 (1) ² - (1) + 2=-2-1+2=-1

(значения y = - 2t²-t+2 на концах промежутка [-1; 1]).

у (t0) = 2,125; y (-1) = 1; y (1) = - 1, ⇔

y = - 2t²-t+2 = {2cos²а - sin (a) } ∈[-1; 2,125]

Можно преобразовать, выделив полный квадрат:

-2 (t²+2· (1/4) t+1/16) + 2· (1/16) + 2=2 (t+1/4) ²+2,125

Тогда t0=-1/4 y0=2,125, значения y (-1) = 1, y (1) = - 1 вычисляем как выше. Также сравниваем y0=2,125; y (-1) = 1; y (1) = - 1. Понимаем, что

{2cos²а - sin (a) } ∈[-1; 2,125]

Если знаем производные,

найдем наименьшее наибольшее значение функции y = - 2t ²-t+2

при t∈[-1; 1].

1) y¹ = - 4t-1

2) - 4t-1=0 ⇔ t=-1/4

3) y (-1) = - 2 (-1) ² - (-1) + 2=-2+1+2=1

4) y (1) = - 2 (1) ² - (1) + 2 = - 2-1+2=-1

5) y (-1/4) = - 2 (-1/4) ² - (-1/4) + 2=-1/8+1/4+2=2,125

Также сравниваем y0=2,125; y (-1) = 1; y (1) = - 1.

Понимаем, что {2cos²а - sin (a) } ∈[-1; 2,125]