Назовем число особым, если его можно представить в виде m^2 + 2n^2, где m и n - целые числа. Докажите, что произведение двух особых чисел есть особое число.

Question

Алгебра

Игорка

19 ноября, 15:58

Назовем число особым, если его можно представить в виде m^2 + 2n^2, где m и n - целые числа. Докажите, что произведение двух особых чисел есть особое число.

+4

Ответы (1)

Знаете ответ?

Риммура · Answer 1

Q1 = (a² + 2b²) первое число

q2 = (m² + 2n²) второе число

q1*q2 = (a² + 2b²) * (m²+2n²) = a²m² + 2m²b²+2a²n²+4b²n²=

= (am) ² + (2bn) ² + 2 ((mb) ² + (an) ²)

До полного квадрата не хватает выражения

в первой скобке 4ambn добавляешь и вычитаешь его

(am) ² + (2bn) ²+4ambn-4ambn + 2 ((mb) ² + (an) ²) = (am+2bn) ² - 4ambn + 2 ((mb) ² + (an) ²)

внесем - 4ambn в скобку 2 ((mb) ² + (an) ²)

(am+2bn) ²+2 (mb) ² + (an) ²-2ambn) = (am+2bn) ²+2 (mb-an) ²

произведем замену x = (am+2bn) y = (mb-an)

получим q1*q2=x ²+2y² что и требовалось доказать