Докажите, что:

1) если натуральное число не делится на 3, то разность его квадрата и единицы делится на 3;

2) разность квадратов двух нечетных чисел делится на 8.

1.

n=3k+1, k∈N

n²-1=9k²+6k+1-1=9k²+6k=3 (3k²+2k) - т. е. делится на 3

n=3k+2, k∈Z

n²-1=9k²+12k+4-1=9k²+12k+3=3 (3k²+4k+1) - т. е. делится на 3

2. n=2k+1, m=2l+1, k, l∈Z

|n²-m²|=|4k²+4k+1-4l²-4l-1|=4| (k²-l²) + (k-l) |=4| (k-l) (k+l+1) | (1)

Если k и l - четные или нечетные одновременно, то тогда разность k-l четная, а значит (1) делится на 8.

Если одно из k и l четное а другое нечетное, то тогда сумма k+l+1 четная, а значит (1) делится на 8.

2) 7*7 - 3*3=49-9=40

40/8=5

9*9 - 5*5=81-25=7

и т. п

1) 4*4=16-1=15/3=5

2*2-1=3/3=1