Решите: sin (2arctg2) = ?

Sin (2arctgx) = 2x / (1+x^2)

sin (2arctg2) = 4/5

Обозначим

arctg2=α ⇒ tg α=2 и

0<α< (π/2),

так как arctg определен на (-π/2; π/2) и по условию тангенс положителен.

По формуле

1+tg²α=1 / (cos²α)

находим

cos²α=1 / (1+tg²α) = 1 / (1+2²) = 1/5

cosα=1/√5, так как 0<α< (π/2)

sinα=√ (1-cos²α) = √ (1 - (1/5)) = 2/√5

sin2α=2sinα·cosα=2· (2/√5) · (1/√5) = 4/5

О т в е т. sin (2arctg2) = sin2α=4/5.