Формулы сокращённого умножения и их применение

Это формула сокращённого умножения помогает существенно облегчить вычисление

1) Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения. (a+b) 2 = a2+2ab+b2 a) (x + 2y) 2 = x 2 + 2 ·x·2y + (2y) 2 = x2 + 4xy + 4y2 б) (2k + 3n) 2 = (2k) 2 + 2·2k·3n + (3n) 2 = 4k2 + 12kn + 9n2 2) Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения. (a-b) 2 = a2-2ab+b2 а) (2a - c) 2 = (2a) 2-2·2a·c + c 2 = 4a 2 - 4ac + c2 б) (3a - 5b) 2 = (3a) 2-2·3a·5b + (5b) 2 = 9a2 - 30ab + 25b2 3) Разность квадратов двух выражений равна произведению разности самих выражений на их сумму. a2-b2 = (a-b) (a+b) a) 9x2 - 16y2 = (3x) 2 - (4y) 2 = (3x - 4y) (3x + 4y) б) (6k - 5n) (6k + 5n) = (6k) 2 - (5n) 2 = 36k2 - 25n2 4) Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения. (a+b) 3 = a3+3a2b+3ab2+b3 a) (m + 2n) 3 = m3 + 3 ·m2 ·2n + 3·m· (2n) 2 + (2n) 3 = m3 + 6m2n + 12mn2 + 8n3 б) (3x + 2y) 3 = (3x) 3 + 3· (3x) 2 ·2y + 3·3x· (2y) 2 + (2y) 3 = 27x3 + 54x2y + 36xy2 + 8y3 5) Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения. (a-b) 3 = a3-3a2b+3ab2-b3 а) (2x - y) 3 = (2x) 3-3· (2x) 2·y + 3·2x·y2 - y3 = 8x3 - 12x2y + 6xy2 - y3 б) (x - 3n) 3 = x3-3·x2·3n + 3·x· (3n) 2 - (3n) 3 = x3 - 9x2n + 27xn2 - 27n3 6) Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы самих выражений на неполный квадрат их разности. a3+b3 = (a+b) (a2-ab+b2) a) 125 + 8x3 = 53 + (2x) 3 = (5 + 2x) (52 - 5·2x + (2x) 2) = (5 + 2x) (25 - 10x + 4x2) б) (1 + 3m) (1 - 3m + 9m2) = 13 + (3m) 3 = 1 + 27m3 7) Разность кубов двух выражений равна произведению разности самих выражений на неполный квадрат их суммы. a3-b3 = (a-b) (a2+ab+b2) а) 64 с3 - 8 = (4 с) 3 - 23 = (4 с - 2) ((4 с) 2 + 4 с·2 + 22) = (4 с - 2) (16 с2 + 8 с + 4) б) (3a - 5b) (9a2 + 15ab + 25b2) = (3a) 3 - (5b) 3 = 27a3 - 12