Найти точку минимума функции y=-x^2+5x - 2lnx

Решение

Находим первую производную функции:

y' = - 2x + 5 - 2/x

или

y' = (- 2x² + 5x - 2) / x

Приравниваем ее к нулю:

- 2x + 5 - 2/x = 0

x₁ = 1/2

x₂ = 2

Вычисляем значения функции

f (1/2) = 2ln (2) + 9/4

f (2) = - 2ln (2) + 6

Ответ: fmin = 2ln (2) + 9/4, fmax = - 2ln (2) + 6

Используем достаточное условие экстремума функции одной переменной. Найдем вторую производную:

y'' = - 2 + 2/x²

или

y'' = (- 2x² + 2) / x²

Вычисляем:

y'' (1/2) = 6 > 0 - значит точка x = 1/2 точка минимума функции.

y'' (2) = - 3/2 < 0 - значит точка x = 2 точка максимума функции.