Нужна хотя бы верная идея

Для небольшого сокращения объема выкладок обозначим u = sin (2x) и v = cos (2x)

Исходное уравнение:

2uv = (1 + sqrt (2)) (u + v - 1)

О. т. т.:

u^2 + v^2 = 1

Сложим эти два уравнения:

(u + v) ^2 = 1 + (1 + sqrt (2)) (u + v - 1)

Замена: x = u + v

x^2 = 1 + (1 + sqrt (2)) (x - 1)

x^2 - (1 + sqrt (2)) x + sqrt (2) = 0

Корни легко угадать по теореме Виета:

x = 1 или x = sqrt (2)

x = u + v = sin (2x) + cos (2x) = sqrt (2) sin (2x + pi/4)

x = 1: sqrt (2) sin (2x + pi/4) = 1

sin (2x + pi/4) = 1/sqrt (2)

2x + pi/4 = pi/4 + 2pi n или 2x + pi/4 = 3pi/4 + 2pi m

2x = 2pi n или 2x = pi/2 + 2pi m

x = pi n или x = pi/4 + pi m

x = sqrt (2) : sqrt (2) sin (2x + pi/4) = sqrt (2)

sin (2x + pi/4) = 1

2x + pi/4 = pi/2 + 2pi k

2x = pi/4 + 2pi k

x = pi/8 + pi k

Sin (4x) = 2sin (2x) cos (2x) = 2sin (2x) cos (2x) = 2 * (2 tg (x) / (1 + tg^2 (x)) * (1 - tg^2 (x) / (1 + tg^2 (x))

(1 + корень (2)) (sin (2x) + cos (2x) - 1) = (1 + корень (2)) ((2 tg (x) / (1 + tg^2 (x)) + (1 - tg^2 (x) / (1 + tg^2 (x)) - 1) =

= (1 + корень (2)) (2 tg (x) + 1 - tg^2 (x) - 1 - tg^2 (x)) / (1 + tg^2 (x)) = (1 + корень (2)) (2 tg (x) - 2tg^2 (x)) / (1 + tg^2 (x))

sin (4x) = (1 + корень (2)) (sin (2x) + cos (2x) - 1)

=>

2 * (2 tg (x) / (1 + tg^2 (x)) * (1 - tg^2 (x) / (1 + tg^2 (x)) = (1 + корень (2)) (2 tg (x) - 2tg^2 (x)) / (1 + tg^2 (x))

2 * (2 tg (x) * (1 - tg^2 (x) = (1 + корень (2)) (2 tg (x) * (1 - tg (x)) * (1 + tg^2 (x))

=>

(2 tg (x) * (1 - tg (x)) (1+tg (x)) = (1 + корень (2)) (tg (x) * (1 - tg (x)) * (1 + tg^2 (x))

=>

(2 tg (x) * (1 - tg (x)) (1+tg (x)) - (1 + корень (2)) (tg (x) * (1 - tg (x)) * (1 + tg^2 (x)) = 0

=>

tg (x) * (1 - tg (x)) * (2 * (1+tg (x)) - (1 + корень (2)) (1 + tg^2 (x))) = 0

tg (x) = 0 или tg (x) = 1 или 2 * (1+tg (x)) - (1 + корень (2)) (1 + tg^2 (x)) = 0

1)

tg (x) = 0 = > x=pi*k

2)

tg (x) = 1 = > x=pi/4+pi*k

3)

2 * (1+tg (x)) - (1 + корень (2)) (1 + tg^2 (x)) = 0

tg^2 (x) - tg (x) * 2 / (1 + корень (2)) + 1-2 / (1 + корень (2)) = 0

tg^2 (x) - tg (x) * 2 / (1 + корень (2)) + (корень (2) - 1) / (1 + корень (2)) = 0

tg^2 (x) - tg (x) * 2 * (корень (2) - 1) + (корень (2) - 1) ^2=0

(tg (x) - (корень (2) - 1)) ^2=0

tg (x) = корень (2) - 1

x=arctg (корень (2) - 1) + pi*k=pi/8+pi*k