Сумма первых тринадцати членов арифметической прогрессии равна 130. Известно, что четвёртый, десятый и седьмой члены этой прогрессии, взятые в указанном порядке, составляют геометрическую прогрессию. Найдите первый член арифметической прогрессии, при условии, что он не равен её второму члену.

Члены арифметической прогрессии обозначим An, геометрической Bn.

Тогда имеем:

13A1+78d=130 (из формулы суммы первых членов арифметической прогрессии Sn = ((2A1+d (n-1)) / 2) * n), что равносильно

A1+6d=10

A4=A1+3d=B1

A10=A1+9d=B1*q

A7=A1+6d=B1*q^2

B1*q^2=10

B1+3d=10

B1+6d=B1*q

B1=10/q^2 (Выражаем B1 из первого уравнения)

B1=10-3d (Выражаем B1 из второго уравнения)

3d=10-B1 (теперь 3d из второго)

3d=10-10/q^2 (подставляем сюда значение B1 из первого)

10+3d=10/q (подставляем вместо B1 соответственно 10-3d и 10/q^2)

10+10-10/q^2=10/q

20-10/q^2-10/q=0

20q^2-10q-10=0

2q^2-q-1=0

D=1+8=9

q1 = (1-3) / 4=-1/2

q2 = (1+3) / 4=1

Зная q, можно найти все остальное:

B1*q^2=10

B1=10/q^2

3d=10-B1

Для q=-1/2 B1=40, 3d=10-40=-30, d=-10

Для q=1 B1=10, 3d=10-B1=0, d=0.

Так как нам известно что первый член арифметической прогрессии не равен второму, то корень q=1 не подходит (так как d=0). Значит, d=-10.

Найдем A1.

A1+3d=B1

A1-30=40

A1=70.

Ответ: A1=70.