Решите уравнение x^2+y^2+z^2=2015 в целых числах

С 2015 все ясно, решений нет.

Интереснее с 2016. В натуральных числах я нашёл 3 решения:

4^2+8^2+44^2=16+64+1936

4^2+20^2+40^2=16+400+1600

12^2+24^2+36^2=144+576+1296

Если нужно все целые решения, то нужно добавить отрицательные значения:

(4; 8; 44) ; (4; 8; -44) ; (4; -8; 44) ; (4; -8; -44) ;

(-4; 8; 44) ; (-4; 8; -44) ; (-4; -8; 44) ; (-4; -8; -44)

Тоже самое с остальными решениями.

Квадрат любого числа при делении на 8 может иметь только остаток 0, 1 или 4. Действительно, если n=2k+1, то n² = (2k+1) ²=4k (k+1) + 1. Произведение k (k+1) всегда делится на 2, поэтому остаток от деления квадрата нечетного числа на 8 всегда равен 1.

Если n=2 (2k+1), то остаток от деления n² на 8 равен 4, и если n=4k, то n² делится на 8. Итак, Множество возможных остатков от деления х²+y²+z² на 8 образовано остатками от деления на 8 всевозможных сумм трех чисел из множества {0,1,4}, т. е. множество остатков левой части равно {0,1,4,3,6}. С другой стороны, 2015=8*251+7, т. е. остаток 7, но 7∉{0,1,4,3,6}, поэтому решений нет.