25^ (x+1) + 49 * 5^x - 2=0

(5^2) ^ (х+1) + 49*5^х-2=0, тогда по свойству степеней получим 25 * (5^2 х) + 49*5^х-2=0. Сделаем замену t=5^x, t>0. Решаем квадратное уравнение: 25*t^2+49*t-2=0, D=2401+200=2601=51^2, тогда t1 = (-49-51) / 50=-2 - не подходит, так как t>0; t2 = (-49+51) / 50=2/50=1/25. Обратная замена дает уравнение: 5^x=1/25, 5^x=5^ (-2), значит х=-2. Ответ: - 2.

Решение:

25^ (x+1) + 49*5^x-2=0

{5^2}^ (x+1) + 49*5^x-2=0

5^ (2) * (x+1) + 49*5^x-2=0

5^ (2x+2) + 49*5^x-2=0

5^2*5^2x+49*5^x-2=0

25*5^2x+49*5^x-2=0

Обозначим 5^x=y, тогда уравнение получит вид:

25y²+49y-2=0

y1,2 = (-49+-D) / 2*25

D=√ (49²-4*25 * - 2) = √ (2401+200) = √2601=+-51

y1,2 = (-49+-51) / 50

y1 = (-49+51) / 50=2/50=1/25=1/5^2=5^-2

y2 = (-49-51) / 50=-100/50=-2 - не подойдёт, так как у=5^x 5>0

5^x=5^-2

x=-2

Ответ: х=-2