Доказать что не имеет целочисленных решени уравнение y2=3x+5 и уравнение x2=y2+1998

1) y^2=3x+5 x y целые

1) Предположим что целые решения существуют.

Пусть y при делении на 3. дает остаток i (|i|<=3 тк остаток не превышает модуля делителя.

(3*n+i) ^2=3x+5

9*n^2+6*n*i+i^2=3x+5

9*n^2+6*n*i-3x=5-i^2

откуда число 5-i^2 должно делится на 3

возможно i=+-1; +-2; +-3

5-i^2=4, 1, - 4 то есть не может делится на 3. А значит

мы пришли к противоречию целых решений нет.

2) Положим что существуют.

x^2-y^2=1998

(x-y) (x+y) = 1998 тогда x-y и x+y тоже целые числа

1998 не делится на 4. А значит оба числа x-y и x+y не могут быть четными. Раз 1998 четное. То один из множителей четный другой нет.

То сумма чисел x-y и x+y число не четное но x-y+x+y=2y - четное то мы пришли к противоречию. Целых решений нет.