Решите уравнение sinx cosx - 5 sin²x = - 3 и найдите его корни, принадлежащие интервалу (;)

sin^2 (x) + cos^2 (x) = 1 - основное тригонометрическое тождество

sinx cosx - 5 sin²x = - 3 ⇒ sinx cosx - 5 sin²x = - 3 * (sin^2 (x) + cos^2 (x)) ⇒

2sin^2 (x) - sinxcosx-3cos^2 (x) = 0

Делим обе части на cos^2 (x) :

2tg^2 (x) - tgx-3=0

Замена: tgx=t⇒2t^2-t-3=0

D=1+4*2*3=25; √D=5

t1 = (1-5) / 4=-1; t2 = (1+5) / 4=3/2

tgx=-1⇒x=arctg (-1) + πn=-π/4+πn

tgx=1,5⇒x=arctg (1,5) + πn≈56 град18 мин+πn

1) n=0⇒x1=-π/∈ (-π/2; π) ; x2 = 56 град18 мин∈ (-π/2; π)

2) n=1⇒x1 = - π/4+π=3π/4 ∈ (-π/2; π) ; x2 = (56 град18 мин+π) ∉ (-π/2; π)

При остальных значениях n корни не попадают в указанный интервал