На доске написаны числа 1, 2, 3, ..., 125. Разрешается стереть любые два числа и написать вместо них остаток от деления суммы этих чисел на 11. После 124 таких операций на доске осталось одно число. Какое это число?

Так как остаток от деления суммы на число равен остатку от деления на число от суммы остатков деления каждого слагаемого на число

т. е. в каком бы порядке мы бы не выбирали числа, на доске останется остаток от деления суммы всех данных чисел на число 11, так как после 124 операций все числа будут задействованы и останется только последний остаток.

1+2+3 + ... 125=125*126:2=125*63=7875 дает при делении на 11 остаток 10, поэтому ответ 10