Докажите что 3*2007+7*2007 делится на 37.

Если 2007 - это показатель степени, то я буду писать 3^2007 и 7^2007

3^4 = 81 = 2*37 + 7 ≡ 7 (mod 37)

7^3 = 343 = 9*37 + 10 ≡ 10 (mod 37)

Эта запись означает "сравнима по модулю", то "имеет такой же остаток при делении на 37".

3^2007 = 3^2004*3^3 = (3^4) ^501*3^3 ≡ 7^501*27 (mod 37) = (7^3) ^167*27 = 10^167*27

7^2007 = (7^3) ^669 ≡ 10^669 (mod 37)

Дальше

10^3 = 27*37 + 1 ≡ 1 (mod 37)

10^167*27 = (10^3) ^55*10^2*27 ≡ 1^55*100*27 (mod 37) = 2700

10^669 = (10^3) ^223 ≡ 1^223 (mod 37) = 1

Теперь складываем

2700 + 1 = 2701 = 37*73 ≡ 0 (mod 37)

Таким образом получаем, что число 3^2007 + 7^2007 делится на 37.