Можно ли из последовательности 1, 1/2, 1/3, 1/4, ... выделить арифметическую прогрессию а) длиной 4 б) длиной 5 в) длиной k, где k - любое натуральное число?

Можно ли из последовательности 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7 ...

выделить арифметическую прогрессию

а) длиной 4;

б) длиной 5;

в) длиной n, где n - любое натуральное число? Возьмём парочку произвольных членов последовательности и посчитаем их разность.

Теперь продолжим начатую арифметическую прогрессию с найденной разностью:

Если первые два числа привести к тому же знаменателю m (m + k), то получим:

Чтобы прогрессия состояла из трёх членов данной последовательности, третья дробь

должна сократиться, и при этом в числителе должна оказаться единица, т. е.

знаменатель m (m + k) должен поделиться на числитель (m - k).

Это произойдёт, например, при m = 2k. Получим прогрессию:

Подставляя различные натуральные k, будем получать разные примеры прогрессий.

Чтобы в четвёртом члене прогрессии при сокращении оказалась единица,

знаменатель m (m + k) должен поделиться на числитель (m - 2k).

Это произойдёт, например, при m = 3k:

Потребуем теперь, чтобы сократилась пятая дробь. Возьмём m = 4k. Наша прогрессия:

Чтобы во всех числителях оказалась единица (третья дробь подводит), возьмём k = 3:

Присмотримся внимательно к прогрессии, найденной в самом начале решения:

Числители образуют арифметическую прогрессию, знаменатели равны.

Возьмём в качестве знаменателя n!, а в качестве числителей 1, 2, 3, ...

...