Градусная мера угла ромба равна 60 °. Вычислите площадь круга, вписанного в этот ромб, если длина его меньшей диагонали равна 6 см.

По условию градусная мера угла ромба 60°. По свойству противолежащих углов ромба - они равны.

Диагонали ромба пересекаются перпендикулярно и в точке пересечения делятся пополам. Образуются 2 треугольника, вершины которых имеют угол 60 °. По свойствам ромба - все стороны равны, также по свойству треугольников, если две стороны равны, значит треугольник равно бедренный и углы при основании равны. Можно вычислить углы при основании.

180 - 60 = 120° (сумма углов при основании)

120 : 2 = 60° (угол при основании)

А раз в треугольнике все углы равны 60°, то треугольник равносторонний и все стороны равны 6 см, т. к. меньшая диагональ ромба равна 6 см (она является основанием треугольника).

Большая диагональ делит равносторонний треугольник на два равных прямоугольных треугольника. Можно вычислить катет этого треугольника, который является половиной большей диагонали ромба.

c² = b² + a²

b² = c² - a²

b² = 6² - 3² = 36 - 9 = 27

b ≈ 5,2 см

Половина большей диагонали равна 5,2 см.

Большая диагональ будет

5,2 * 2 = 10,4 см

Теперь можно вычислить радиус вписанной окружности в ромб по формуле:

r = Dd : 4a = 10,4 * 6 : 4 * 6 = 2,6 см

Площадь окружности вычисляется по формуле:

S = πr² = 3,14 * 2,6² ≈ 21,23 см²

Ответ: площадь вписанной окружности в роб равна 21,23