Что такое система линейных уравнений

Это когда в системе записано несколько линейных алгебраических уравнений с несколькими неизвестными

Уравнение называется линейным, если оно содержит переменные только в первой степени и не содержит произведений переменных. Например, уравнение - линейное, а уравнения ине являются линейными. В общем виде система m линейных уравнений с n переменными записывается так:. (1) Числа

называются коэффициентами при переменных, а

-

свободными членами. Совокупность чисел

называется решением системы (1) линейных уравнений, если при подстановке их вместо переменных во все уравнения они обращаются в верные равенства. Изучение систем линейных уравнений начинается в средней школе. В школьном курсе рассматриваются в основном системы двух линейных уравнений с двумя переменными и два способа их решения - способ подстановки и способ сложения. Эти способы являются основой изучаемого в курсе высшей математикеметода Гаусса. Чтобы последовательно двигаться от простому к ещё более простому (сложному), повторим эти два школьных способа. Пример 1. Решить систему линейных уравнений способом подстановки: Решение. При решении способом подстановки сначала из какого-нибудь уравнения выражают одну переменную через другую. Полученное выражение подставляют в другое уравнение, в результате чего приходят к уравнению с одной переменной. Затем находят соответствующее значение второй переменной. Выразим из первого уравнения данной системы y через x (можно и наоборот) и получим: Подставив во второе уравнение данной системы вместо y выражение, получим систему Данная и полученная системы равносильны. В последней системе второе уравнение содержит только одну переменную. Решим это уравнение: Соответствующее значение y найдём, подставив вместо x число - 5 в выражение, откуда Пара (-5; 2) является решением системы линейных уравнений. Пример 2. Решить систему линейных уравнений способом сложения: Решение. При решении систем линейных уравнений способом сложения мы переходим от данной системы к другой, равносильной ей системе, в которой одно из уравнений содержит только одну переменную. В уравнениях данной в этом примере системы коэффициенты при y - противоположные числа. Сложив почленно левые и правые части уравнений, получим уравнение с одной переменной:, или,. Заменим одно из уравнений исходной системы, например, первое, уравнением. Получим систему Решим полученную систему. Подставив значение в уравнение, получим уравнение с одной переменной y: Пара (2; 1) является решением полученной системы линейных уравнений. Она является также решением исходной системы, так как эти две системы линейных уравнений равносильны. Пример 3. Почленное сложение уравнений системы не приводит к исключению одной из переменных. Но если умножить все члены первого уравнения на - 3, а второго уравнения на 2, то коэффициенты при x в полученных уравнениях будут противоположными числами: Почленное сложение уравнений полученной в результате преобразований системы приводит к уравнению с одной переменной:. Из этого уравнения находим, что. Получили Решением полученной системы, а следовательно и исходной системы линейных уравнений является пара чисел (-3; 0). Решив задачи из первых трёх примеров, мы научились производить элементарные преобразования, необходимые для решениях систем линейных уравнений в курсе высшей математики. Значительно ускоряет процесс решения систем линейныйх уравнений использование определителей.