Найти точки экстримума функции Z=27x^2+9xy^2-27x+2y^3

Находим стационарные точки

1) z' (x) = 0, z' (x) = 54x + 9y^2 - 27

2) z' (y) = 0, z' (y) = 18xy + 6y^2 = 6y (3x + y) = > y = 0 или 3x + y = 0 = >

1) a) подставляем y = 0 в первое: 54x - 27 = 0; x = 0,5

1) б) решаем систему из 54x + 9y^2 - 27 = 0 и 3x + y = 0, из второго выражаем y: y = - 3x и подставляем в первое: 54x + 81x^2 - 27 = 0 = > x1 = - 1, x2 = 1/3; y1 = 3, y2 = - 1.

М1 (0,5; 0), М2 (-1; 3), M3 (1/3; -1).

z'' (x) = 54

z'' (xy) = 18y

z'' (y) = 18x + 12y

1) Берем М1: z'' (x) |M1 = 54 = A1; z'' (xy) |M1 = 0 = B1; z'' (y) |M1 = 9 = C1; D1 = A1C1 - B1^2 = 486 = > D1 > 0, A1 > 0 = > M1 - минимум

2) 1) Берем М2: z'' (x) |M2 = 54 = A2; z'' (xy) |M2 = 54 = B2; z'' (y) |M2 = 18 = C2; D2 = A2C2 - B2^2 = - 1944 = > D2 в M2 экстремума нет

3) Берем М3: z'' (x) |M3 = 54 = A3; z'' (xy) |M3 = - 18 = B3; z'' (y) |M3 = - 6 = C3; D3 = A3C3 - B3^2 = - 648 = > D3 в M3 экстремума нет