Найти площадь фигуры ограниченной линиями: y=3*x^3-x; y=2*x

y=3·x³-x и y=2x

Определим пределы интегрирования (точки пересечения графиков) :

2 х = 3·x³-x

3·x³-3 х = 0

3 х (х² - 1) = 0

х₁ = 0, х₂ = - 1, х₃ = + 1

На интервале от - 1 до 0 3·x³-x > 2 х

На интервале от 0 до + 1 3·x³-x < 2 х

1) Интегрируем в пределах от - 1 до 0 следующее выражение

3·x³-x - 2 х = 3x³-3x = 3 (x³-x)

3∫ (x³-х) dx = 3 (x⁴/4 - x²/2).

Подставим верхний и нижний пределы:

3/4 · 0⁴ - 3/2 ·0² - 3/4 (-1) ⁴ + 3/2 (-1) ² = 3/2 - 3/4 = 3/4 = 0,75

2) Интегрируем в пределах от 0 до + 1 следующее выражение

2 х - (3·x³-x) = - 3x³+3x = 3 (-x³+x)

3∫ (-x³+x) dx = 3 (-x⁴/4 + x²/2).

Подставим верхний и нижний пределы:

3 (-1⁴/4 + 1²/2) - 3 (-0⁴/4 + 0²/2) = - 3/4 + 3/2 = 3/4 = 0,75

Сложим результаты интегрирования 1) и 2)

S = 0.75 + 0.75 = 1.5