В треугольнике АВС даны уравнения: стороны АВ 3 х+2 у-12=0, высоты ВМ х+2 у-4=0, высоты АМ 4 х+у-6=0, где М-точка пересечения высот. Найти уравнения сторон АС, ВС и высоты СМ.

Выражаем уравнения заданных прямых относительно "у".

АВ: 3 х+2 у-12=0, у = (-3/2) х + 6.

ВМ: х+2 у-4=0, у = (-1/2) х + 2.

АМ: 4 х+у-6=0, у = - 4 х + 6.

Находим координаты точки А как точки пересечения АВ и АМ:

(-3/2) х + 6 = - 4 х + 6,

(5/2) х = 0, х = 0, у = 6.

Точка А (0; 6).

Находим координаты точки В как точки пересечения АВ и ВМ:

(-3/2) х + 6 = (-1/2) х + 2,

(2/2) х = 4, х = 4, у = - 2 + 2 = 0.

Точка В (4; 0).

Угловой коэффициент прямой АС как перпендикулярный высоте ВМ равен: к = - 1 / (-1/2) = 2.

АС: у = 2 х + в. Для определения "в" подставляем координаты точки А.

6 = 2*0 + в. Отсюда в = 6 и уравнение АС: у = 2 х + 6.

Аналогично находим уравнение ВС.

к (ВС) = - 1 / (-4) = 1/4. ВС: у = (1/4) х + в. ⇒ точку В: 0 = (1/4) * 4 + 4, в = - 1.

Уравнение ВС: у = (1/4) х - 1.

Находим координаты точки С как точки пересечения АС и ВС:

2 х + 6 = (1/4) х - 1,

(7/4) х = - 7, х = - 4, у = 2 * (-4) + 6 = - 2.

Точка С (-4; - 2).

Таким же образом находим уравнение высоты СМ.

СМ: у = (2/3) х + (2/3).

Можно применить формулу:

СМ: Х-Хс = У-Ус

Ув-Уа Ха-Хв

Получим каноническую форму:

(х + 4) / - 6 = (у + 2) / - 4.

После приведения к общему знаменателю получим общее уравнение:

2 Х - 3 У + 2 = 0