В равнобедренном треугольнике ABC AB=BC=13 AC=10 найти расстояние от вершины B до

а) точки M пересечения медиан

б) точки О1 пересечения биссектрис

в) точки О пересечения серединных перпендикуляров сторон

г) точки H пересечения высот

Высоту BH найдём из прямоугольного треугольника BHC, где HC = 5 (1/2 AC), а BC по условию = 13.

BH^2 = BC^2 - HC^2

BH^2 = 169 - 25 = 144

BH = 12 (высота)

Медиана = высота = биссектриса (опущена на основание РБ треугольника), значит BM = 1/2BH = 6

Так как треугольник равнобедренный, то высота h к основанию является одновременно и медианой, и биссектрисой.

Поэтому все заданные точки лежат на этой высоте h.

а) точка M пересечения медиан.

Высота h равна √ (11² - (14/2) ²) = √121 - 49) = √72 = 6√2.

Точка M пересечения медиан находится на расстоянии (2/3) h от вершины В: ВМ = (2/3) * 6√2 = 4√2 ≈ 5,65685.

б) точка О1 пересечения биссектрис.

Тангенс угла А равен: tg A = 6√2/7.

Тангенс половинного угла равен:

tg (A/2) = tgA / (1+√ (1+tg²A)) = (6√2/7) / (1+√ (1 + (72/49))) = √2/3.

Искомое расстояние ВО1 = 6√2 - (7 * (√2/3)) = 11√2/3 ≈ 5,18545.

в) точка О пересечения серединных перпендикуляров сторон.

Это расстояние равно:

ВО = 5,5/cos (B/2) = 5,5 / (6 √2/11) = 60,5 / (6√2) = 121 / (12√2) ≈ 7,129993.

г) точка H пересечения высот.

ВН находим из подобия взаимно перпендикулярных треугольников АНД и ВДС: ВН = 6 √2 - (7 * (7/6√2)) = 23 / (6√2) ≈ 2,710576.

(точка Д - середина основания АС).