Докажите, что из пяти натур. чисел найдется три, сумма которых делится на три.

Либо хотя бы одно число делится на 3, либо найдутся три такие числа, что их остатки равны. Действительно, ведь все числа можно представить как 3n, 3n - 1 и 3n - 2 (n - натуральное). Остатки их могут быть равны 0, 1 и 2. Ещё, их у нас 5, что не позволит нам их представить иначе. В первом случае (когда хотя бы одно число делится на 3), мы можем сложить числа с остатками 0, 1 и 2. Тогда, (a + b + c) mod 3 = (a mod 3 + b mod 3 + c mod 3) mod 3 = 0. Во втором случае, если найдутся три числа с равными остатками, то аналогично (a mod 3 + b mod 3 + c mod 3) mod 3 = 0.