Решить уравнение в полных дифференциалах

Очень нужна помощь

(2x-y*exp^ (-x)) dx + (exp^ (-x)) dy=0

1. Сначала убеждаемся, что данное уравнение действительно является уравнением в полных дифференциалах. Если уравнение представить в виде P (x, y) * dx+Q (x, y) * dy=0, то для того, чтобы оно являлось уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно выполнения условия dP/dy=dQ/dx. В нашем случае P (x, y) = 2*x-y*e^ (-x), Q (x, y) = e^ (-x), так что dP/dy=-e^ (-x), dQ/dx=-e^ (-x). Условие выполняется, значит уравнение действительно является уравнением в полных дифференциалах.

2) Так как полный дифференциал функции u (x, y) = du/dx*dx+du/dy*dy, то отсюда P (x, y) = du/dx и Q (x, y) = du/dy. В нашем случае du/dx=2*x-y*e^ (-x), откуда du=2*x*dx-y*e^ (-x) * dx. Интегрируя обе части, находим u (x, y) = 2*∫x*dx-y*∫e^ (-x) * dx=x²+y*e^ (-x) + f (y), где f (y) - неизвестная пока функция от y. Дифференцируя это равенство по y, получаем du/dy=e^ (-x) + f' (y) = Q (x, y) = e^ (-x). Отсюда f' (y) = 0 и f=C1, где C1 - произвольная постоянная. Тогда u (x, y) = x²+y*e^ (-x) + C1, а так как du=0, то u (x, y) = const=C2. Отсюда x²+y*e^ (-x) = C2-C1=C. Ответ: x²+y*e^ (-x) = C.