Можно ли 200 чисел записать на окружности так, чтобы сумма любых семнадцати последовательных чисел была положительна, а сумма любых последовательных 50 чисел была отрицательна?

Скорее всего нет.

Исходя из того, что сумма любых 50 последовательных чисел отрицательна можно сделать вывод, что у нас не только положительные числа, но и отрицательные.

Тогда в любых 17-ти последовательных числах сумма положительных чисел должна быть больше суммы отрицательных.

Предположим, что удалось расположить числа так, как предусмотрено заданием.

Поскольку, исходя из условий задачи, любые 17 последовательно взятые числа дают положительную сумму, то мы можем брать последовательно (начав с любого числа) 50 порций по 17 чисел. Это даст нам некое положительное число, так как складывались пятьдесят положительных чисел.

Теперь пойдём пакетами по 50 чисел. Каждый такой пакет даёт некое отрицательное число. Сложим 50 отрицательных чисел мы никак не сможем получить положительную сумму.

Так как мы начинали оба раза с одного и того же числа суммировать 850 чисел подряд, то сумма их должна быть одинакова. Однако вышеприведённые выкладки дают нам разные суммы.

Следовательно, задание невыполнимо.