Какой остаток имеет число 222^555 + 555^222 при делении на 7?

1) Сначала найдем остатки оснований при делении на 7.

А) 222=210+12=7*30+7+5 - остаток 5.

Б) 555=490+63+2=7*70+7*9+2 - остаток 2.

2) Теперь возводим эти остатки в степень.

А) 222^555=5^555 = (5^5) ^111=3125^111 = (2800+280+42+3) ^111

Оно имеет такой же остаток при делении на 7, как 3^111.

3^111 = (3^3) ^37=27^37 = (21+6) ^37 = 6^37=6^2*6^35=36 * (6^5) ^7=

= (35+1) (36*216) ^7=1 * (35+1) ^7 * (210+6^7) = 1*1^7*6^7=6^7=

=36^3*6 = (35+1) ^3*6=1^3*6=6

Остаток 222^555 от деления на 7 равен 6.

Б) 555^222=2^222 = (2^6) ^37=64^37 = (63+1) ^37=1^37=1.

Остаток 555^222 от деления на 7 равен 1.

3) Складываем эти остатки.

6+1=7

Значит, остаток 222^555+555^222 от деления на 7 равен 7, то есть 0.

Это число делится на 7 нацело.