Две трубы, работая вместе наполняют бак за 12 минут. Если сначала первая труба наполнит первую половину бака, а затем вторая труба вторую половину бака, то бак наполнится за 25 минут. За какое время наполнится бак каждой трубой по отдельности?

Пусть x - производительность первой трубы, y - производительность второй трубы, 1 - объём работы. Зная, что вместе они наполняют бак за 12 мин, а по половине, работая отдельно, 25 минут, получим систему уравнений:

1 / (x + y) = 1/5 ОДЗ:

1/2x + 1/2y = 5/12 x ≠ 0; y ≠ 0; x ≠ - y

x + y = 5

0,5/x + 0,5/y = 5/12

y = 5 - x

0,5/x + 0,5 / (5 - x) = 5/12

Умножим второе уравнение на x (5 - x) :

y = 5 - x

0,5 (5 - x) + 0,5x = 5x (5 - x) / 12

Умножим второе уравнение на 12

y = 5 - x

6 (5 - x) + 6x = 5x (5 - x)

y = 5 - x

30 - 6x + 6x = - 5x² + 25x

y = 5 - x

-5x² + 25x - 30 = 0

y = 5 - x

x² - 5x + 6 = 0

Решим второе уравнение по теореме, обратной теореме Виета:

x₁ + x₂ = 5

x₁x₂ = 6

x₁ = 2

x₂ = 3

x = 2

y = 5 - 2 = 3

или

x = 3

y = 5 - 3 = 2

Время t равно t = 1/x и 1/y (работая: производительность)

t₁ = 1/2 ч = 30 мин

t₂ = 1/3 ч = 20 мин

Ответ: за 20 мин; 30 мин.