1+2^1+2^2 + ... + 2^ (n-1) = 2^n-1

1) База: 1=1.

2) Предположим, что равно для n.

3) (А вот это я не понимаю, нужно написать для n+1)

Это метод математической индукции. Если все три условия соблюдаются, то можно взять n=1 (в силу первого условия) и используя третье доказать что все верно для n=2. Дальше берем n=2 и доказываем, что верно для n=3. И т. д. до бесконечности.

В твоем случае

1+2¹+2² + ... + 2ⁿ⁻¹=2ⁿ-1

Рассмотрим для n+1

1+2¹+2² + ... + 2ⁿ⁻¹+2ⁿ = (1+2¹+2² + ... + 2ⁿ⁻¹) + 2ⁿ = (2ⁿ-1) + 2ⁿ=2*2ⁿ-1=2ⁿ⁺¹-1

Мы доказали третье утверждение

1+2¹+2² + ... + 2ⁿ⁻¹+2ⁿ=2ⁿ⁺¹-1