Докажите, что n^2+1 делится на 3 ни при каком натуральном n

Метод математической индукции.

Разделим все числа на три части.

n = 3m n = 3m - 1 n = 3m-2.

В первом случае доказательство очевидно - квадрат делится на три, квадрат плюс один нет.

Метод математической индукции.

При n = 3m-1

При m=1

2^2+1 не делится.

Пусть верно для m.

(3m-1) ^2+1 = 9m^2-6m+2

Докажем при m=m+1

(3 (m+1) - 1) ^2+1=9m^2+12m+5 = (9m^2-6m+2) + (18m+3)

Первая скобка не делится на три - вторая делится. Сумма не делится. По матиндукции доказано.

При n = 3m-2

1^1+1 не делится.

Пусть верно для

(3m-2) ^2+1 = 9m^2-12m+5

Докажем для

(3 (m+1) - 2) ^2+1 = 9m^2+6m+2 = (9m^2-12m+5) + (18m-3)

Первая не делится, вторая делится - сумма не делится.

Доказано.