В прямоугольном треугольнике ABC с катетами AB=10, AC=24 проведены медианы AM и CN, M и N - - середины сторон BC и AB - - соответственно. Точка I лежит на стороне AC, при этом BI - биссектриса. Найдите площадь треугольника MNI

Находим ВС = √ (10² + 24²) = √ (100 + 576) = √676 = 26.

Находим отрезок AI по свойству биссектрисы:

AI = (24 / (26 + 10)) * 10 = 20/3.

Теперь находим длины сторон треугольника MNI.

Отрезок MN как средняя линия равен 24/2 = 12.

NI = √ (5² + (20/3) ²) = √ (25 + (400/9)) = √ (625/9) = 25/3.

MI = √ (5² + (12 - (20/3)) ²) = √ (481/9) ≈ 7,310571.

Искомую площадь треугольника MNI находим по формуле Герона:

S = √ (p (p-a) (p-b) (p-c)). Полупериметр р = 13,821952.

Подставив данные в формулу, находим S = 30.