Площадь прямоугольного треугольника ABC равна 1, а его гипотенуза равна (корень из 5).

Найдите периметр данного треугольника и тангенс наименьшего острого угла

Пусть a, b - катеты. Тогда верны соотношения:

1 = 1/2 * a * b

(√5) ² = a² + b²

p = a + b + √5

Преобразуем первое выражения так:

1 = 1/2 * a * b

2 = ab

4 = 2ab

А теперь второе:

(√5) ² = a² + b²

(√5) ² + 2ab = a² + b² + 2ab

(√5) ² + 2ab = (a + b) ²

Подставляем результат преобразования первого:

5 + 4 = (a + b) ²

9 = (a + b) ²

a + b = √9 = 3

И теперь подставляем это в выражение для периметра:

p = 3 + √5

Периметр нашли, теперь попробуем с тангенсом. Вспоминаем, что:

ab = 2

a + b = 3

Решаем эту систему:

a = 3 - b

(3 - b) b = 2

3b - b² = 2

b² - 3b + 2 = 0

D = 9 - 4*2 = 1

b = (3 + - 1) / 2 = {2; 1}

То есть пара {a; b} имеет вид {2; 1} - порядок нам не важен, кто из них а, а кто b. Против меньшего угла будет лежать меньшая сторона, т. е. 1, и его тангенс будет: 1/√5