При каких значениях параметра a уравнение (а + 1) x^2 + 2ax + a + 1 = 0

имеет два действительных корней?

это кв уравнение

D=4a^2-4 (a+1) (a+1) >0

4a^2-4 (a+1) ^2>0

4a^2-4 (a^2+2a+1) >0

-8a-4>0

-8a>4

a<-1/2

при а<-1/2

Чтобы уравнение не выродилось в линейное нужно потребовать, чтобы а+1≠0, а≠-1

(а+1) х²+2 ах + (а+1) = 0

Два различных действительных корня квадр. уравнение имеет, если D>0.

D = (2a) ²-4 (a+1) ²=4 (a²-a²-2a-1) = 4 (-2a-1) >0,

-2a-1>0, - 2a>1, a<-0,5

Учтём, что а≠-1 и уберём эту точку из интервала (-∞; - 0,5).

Ответ: а∈ (-∞; - 1) ∨ (-1; - 0,5)