Даны вершины треугольника ABC. А (-2; 4), В (3; 1), С (10; 7). Найти: 1) длину стороны AB; 2) уравнения сторон АВ и АС и их угловые коэффициенты; 3) внутренний угол А в радианах с точностью 0,01 4) уравнение высоты СD и её длину; 5) уравнение окружности, для которой высота СD является диаметром. 6) систему линейных неравенств, определяющий треугольник АВС

А) Длина стороны АВ:

б) Уравнение сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты: АВ: Х-Ха = У-Уа

Хв-Ха Ув-Уа

Получаем уравнение в общем виде:

АВ: 4 х - 8 = 3 у - 6 или

АВ: 4 х - 3 у - 2 = 0

Это же уравнение в виде у = кх + в:

у = (4/3) х - (2/3).

Угловой коэффициент к = 4/3.

ВС: Х-Хв = У-Ув

Хс-Хв Ус-Ув

ВС: 2 х + у - 16 = 0.

ВС: у = - 2 х + 16.

Угловой коэффициент к = - 2.

в) Внутренний угол В: Можно определить по теореме косинусов.

Находим длину стороны ВС аналогично стороне АВ:

BC = √ ((Хc-Хв) ² + (Ус-Ув) ²) = 2.236067977

cos В = (АВ²+ВС²-АС²) / (2*АВ*ВС) = 0.447214

Угол B = 1.107149 радиан = 63.43495 градусов.

Можно определить векторным способом:

Пусть координаты точек

A: (Xa, Ya) = (2; 2).

B: (Xb, Yb) = (5; 6).

С: (Xc, Yc) = (6; 4).

Находим координаты векторов AB и BС:

AB = (Xb-Xa; Yb-Ya) = ((5 - 2) ; (6 - 2)) = (3; 4) ;

BС = (Xc-Xв; Yс-Yв) = ((6 - 5) ; (4 - 6)) = (1; - 2).

Находим длины векторов:

|AB|=√ ((Xb-Xa) ² + (Yb-Ya) ^2) = 5 (по пункту а)

|ВС|=√ ((Xс-Xв) ² + (Yс - Yв) = √ (1² + (-2) ²) = √5 = 2.236067977.

b=cos α = (AB*ВС) / (|AB|*|ВС|

AB*ВC = (Xв - Xa) * (Xc - Xв) + (Yв - Ya) * (Yc - Yв) =

= 3*1 + 4 * (-2) = 3 - 8 = - 5.

b = cosα = |-5| / (5*2.236067977) = 5 / 11.18034 = 0.4472136 20

Угол α=arccos (b) = arc cos 0.4472136 = 1.1071487 радиан = 63.434949°.

г) Уравнение медианы АЕ.

Находим координаты точки Е (это основание медианы АЕ), которые равны полусумме координат точек стороны ВС.

3x - 6 = 3,5y - 7

3x - 3,5y + 1 = 0, переведя в целые коэффициенты:

6 х - 7 у + 2 = 0,

С коэффициентом:

у = (6/7) х + (2/7) или

у = 0.85714 х + 0.28571.