Если x+y=1 то наименьшее значение выражения x^4+y^4 равно

Если х+у = 1, то у = 1-х.

Подставим эту зависимость в заданное выражение и получаем функцию

f (x) = х⁴ + (1-х) ⁴.

Производная этой функции равна:

f" (x) = 4x³-4 (1-x) ³.

Приравняв производную нулю, найдём критические точки.

4x³-4 (1-x) ³ = 0 или, сократив на 4, x³ - (1-x) ³ = 0.

Раскроем скобки и приведём подобные:

2 х³-3 х²+3 х-1 = 0.

Разложим на множители: (2 х-1) (х²-х+1) = 0.

Первый корень: 2 х-1 = 0, х = 1/2.

х²-х+1 = 0.

Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:

D = (-1) ^2-4*1*1=1-4=-3; Дискриминант меньше 0, уравнение не имеет корней.

Остаётся одно решение:

х = у = (1/2).