Решить пример

Комплексные числа:

((3^1/2) + i) ^1/5

Для начала представим число z=√3+i в тригонометрической форме

|z| (cosФ+isinФ) :

|z|=|√3+i|=√ ((√3) ²+1) = 2

Ф=argz=arg (√3+i) = arctg ((√3) / 3) = π/6

z=2 (cos (π/6) + isin (π/6)). Теперь извлечем корень по формуле Муавра:

z^ (1/5) = 2^ (1/5) * (cos ((π/6+2πk) / 5) + isin ((π/6+2πk) / 5)), k=0,1,2,3,4

Подставляем значения k и записываем пять возможных корней:

z0=2^ (1/5) * (cos (π/30) + isin (π/30))

z1=2^ (1/5) * (cos (13π/30) + isin (13π/30))

z2=2^ (1/5) * (cos (5π/6) + isin (5π/6)) = - 2^ (1/5) * ((√3) / 2 - (1/2) i)

z3=2^ (1/5) * (cos (37π/30) + isin (37π/30))

z4=2^ (1/5) * (cos (49π/30) + isin (49π/30))

Получается сначала 3 в степени 6/10 + I в степени 1/5

Переносим, получаем такое выражение I^1/5=-3^6/10

Для удобства вычисления приводим к общей степени

Получаем I^2/10=-3^6/10