Мистер Фокс шифрует числа: вместо каждой четной цифры он пишет ее половину, а вместо каждой нечетной - число (возможно, двузначное), полученное умножением этой цифры на два. Например, число 147 превращается в число 2214. Какое наибольшее количество различных чисел может быть в последовательности, в которой каждое следующее число (начиная со второго) есть результат шифровки предыдующего?

Question

Математика

Нилка

27 сентября, 22:34

Мистер Фокс шифрует числа: вместо каждой четной цифры он пишет ее половину, а вместо каждой нечетной - число (возможно, двузначное), полученное умножением этой цифры на два. Например, число 147 превращается в число 2214. Какое наибольшее количество различных чисел может быть в последовательности, в которой каждое следующее число (начиная со второго) есть результат шифровки предыдующего?

+5

Ответы (1)

Знаете ответ?

Градислава · Answer 1

В исходном числе, каким-бы оно ни было, можно выделить "островки", размером с 1 цифру. Эти островки будут преобразовываться при шифровке независимо, поэтому мы рассмотрим процессы, происходящие с каждой цифрой при шифровке

0 - 0 - 0 - 0 ... (цикл 1)

1 - 2 - 1 - 2 ... (цикл 2)

2 - 1 - 2 - 1 ... (цикл 2)

3 - 6 - 3 - 6 ... (цикл 2)

4 - 2 - 1 - 2 ... (1 уникальный, цикл 2)

5 - 10 - 20 - 10 ... (1 уникальный, цикл 2)

6 - 3 - 6 - 3 ... (цикл 2)

7 - 14 - 22 - 11 - 22 ... (2 уникальных, цикл 2)

8 - 4 - 2 - 1 - 2 ... (2 уникальных, цикл 2)

9 - 18 - 24 - 12 - 21 - 12 ... (3 уникальных, цикл 2)

Итак мы видим, что в общем случае (если исходное число содержит 9) максимум первые три числа могут быть уникальными, а потом в последовательности будут повторяться два каких-то числа, так как последовательное преобразование всех цифр заканчивается последовательностью из двух чередующихся фрагментов.

Так что всего может быть не более 5 различных чисел. Пример с 5 различными - это просто результат преобразования числа 9